Hlavní stránka Fóra Forum pro soutěžící SOČ 42. celostátní přehlídka ONLINE 42. CP SOČ online – obor 01 matematika a statistika Odpověď na téma: 42. CP SOČ online – obor 01 matematika a statistika

#24516
Oliver Bukovianský
Host

Dobrý den Vážená poroto, zde jsou odpovědi na Vaše dotazy:

V odpovědích budu cirkulační matici zapisovat pomocí zkratky CM

Při důkazu, v němž využíváte Kroneckerův součin, jste se někde inspiroval?
K samotnému využití Kroneckerova součinu a věty o mocnině (det(A_(m,m) Kronecker B_(n,n)) = (det(A_(m,m)))^n . (det(B_(n,n)))^m) mě navedl Jan Mazáč, se kterým jsem konzultoval témata z lineární algebry (zmiňuji v poděkování). Důkaz věty jsem sám sestavil.
Dokázal byste z dosavadních úvah naformulovat obecné pravidlo, kdy bude cirkulační matice singulární (a proč)?
Matice je singulární, pokud je její determinant roven nule – napadlo mě pouze řešení, kdy bude mít CM prvky samé nuly.
Setkal jste se i s dalšími vlastnostmi cirkulačních matic? S jakými?
Transpozicí CM je opět CM (nerovná se ale té původní). Pro determinanty obecných matic platí, že se rovnají součinu vlastních čísel matice – pro CM lzou vlastní čísla hezky vyjádřit pomocí odmocnin jedničny (v angličtině root of unity).
Máte nějaké další vlastní výsledky (hypotézy) vztahující se k tématu?
Mám několik hypotéz ke členům mocnin determinantů CM. Během karantény jsem se snažil přijít na to, jestli je možné uspořádat koeficienty mocnin polynomu a^3 + b^3 + c^3 – 3 abc do grafu centrálního trojúhelníkového čísla (CTČ) jednoznačně. Jelikož jsem obecně nedokázal, že počet členů jakékoli mocniny výrazu a^3 + b^3 + c^3 – 3 abc bude shodný s daným CTČ, pokusil jsem se alespoň vymyslet co nejvíce logické pravidlo pro dosavadní mocniny výrazu, u kterých shodnost s hodnotou CTČ platí. Zde uvádím korektnější znění hypotézy a její motivaci (zdůrazňuji, že se nejedná o důkaz): Každý člen mocniny výrazu (a^3 + b^3 + c^3 – 3 abc)^n, kde n je přirozené, půjde jednoznačně zapsat do příslušného grafu centrálního trojúhelníkového čísla. V mé práci jsem do propojených ,,kružnic” (o ,,kružnicích mluvme dále například jako o polích) vepisoval pouze koeficienty členů polynomů, nyní se soustřeďme na kompletní členy včetně proměnných (budou nás zajímat mocniny proměnných) Jednoznačnost vysvětlím na případu n = 2. Roznásobený polynom má následující podobu: a^6 + b^6 + c^6 + 2a^3b^3 + 2a^3c^3 + 2b^3c^3 + 9a^2b^2c^2. Polynom má 10 členů, z toho důvodu budeme pracovat se třetím CTČ hodnoty 10 (jehož graf má deset polí). Do třech vrcholových polí (polí nejvzdálenějších od středu grafu) vložme v libovolném pořadí členy +a^6; +b^6; +c^6. Jednotlivá ,,ramena” grafu (= tři spojnice vedoucí od vrcholových polí ke středu grafu) budou nyní charakterizována proměnnou, která byla umístěna do příslušného vrcholového pole. (členy budeme chtít do grafu vkládat s ohledem na středovou souměrnost vůči středu grafu). Pokud jsme například umístili +a^6 do horního vrcholového pole (a pokud máme graf CTČ orientovaný s vodorovnou podstavou stejně tak jako v mé práci), bude svislé rameno charakterizováno proměnnou a. Je zřejmé, že pro člen + 9a^2b^2c^2 není místo nikde jinde než ve středu grafu (středová souměrnost). Tohoto dosavadního umístění čtyř členů se nadále držme a přistupme ke členům – 6a^4bc; – 6ab^4c; – 6abc^4. Jelikož by měli být členy umístěny s ohledem na středovou souměrnost, nastávají dvě možnosti, kam tuto trojici členů s koeficientem – 6 umístit, jelikož v grafu zbývají už jen dvě volné trojice středově symetrických polí. Buď do první (vnější) vrstvy grafu ,,mezi” členy +a^6; +b^6; +c^6 (přičemž kvůli zachování středové souměrnosti by musel být člen – 6a^4bc mezi členy +b^6; +c^6, člen – 6ab^4c mezi členy +a^6; +c^6 a člen – 6abc^4 mezi členy +a^6; +b^6) a nebo pod tyto členy do druhé vrstvy grafu ,,pod” členy +a^6; +b^6; +c^6 (přičemž kvůli zachování středové souměrnosti by musel být člen – 6a^4bc pod členem +a^6, člen – 6ab^4c pod členem +b^6 a člen – 6abc^4 pod členem +c^6). Zvolil jsem si druhou možnost s ohledem na logiku. Onu logiku se pokusím vysvětlit na proměnné a: Pokud umístím pod +a^6 člen – 6a^4bc, dojde k tomu, že pod členem – 6a^4bc bude středové pole se členem + 9a^2b^2c^2. Zaměřme se nyni jen na mocniny proměnné a: Čím blíže se přibližuji po rameni ke středu, tím více klesají mocniny proměnné a + zvyšují se mocniny zbylých proměnných. Konkrétně mocniny a se s každou vrstvou sníží o dva a mocniny zbylých člen se zvýší o jedna. Zbývá umístit členy + 2a^3b^3; + 2a^3c^3; + 2b^3c^3 připadající první vrstvě. I pro jejich mocniny proměnných platí podobná logika: Sousedními členy pole obsahujícího +a^6 ze stejné vrstvy jsou členy + 2a^3b^3; + 2a^3c^3 (jejich pořadí závisí na tom, zda jsme do levého dolního rohu umístili člen +b^6 nebo +c^6). Mocnina u proměnné a klesne o tři, zatímco mocnina u zbylých proměnných stoupne o tři. Stejná zákonitost funguje i pro celou druhou vrstvu se členy – 6a^4bc; – 6ab^4c; – 6abc^4. Navíc je tento systém uspořádání členů podobný s takzvanou Pascalovou pyramidou, ve které jsou umístěny členy výrazů (a + b + c)^n. Pomocí popsaného způsobu jsem se pokoušel o zapsání členů polynomů (a^3 + b^3 + c^3 – 3 abc)^n pro n = 3; 4; 5 do grafu CTČ příslušné hodnoty, přičemž metoda fungovala bezchybně.
Dále jsem se zajímal o počty členů výrazu (a^3 + b^3 + c^3 + d^3 – 3abc – 3abd – 3acd – 3bcd)^n, opět pro n přirozené. Dostal jsem se k následující posloupnosti, kterou jsem ale nenašel v databázi OEIS: 1; 8; 36; 112; 263; 516;…
Další hypotéza spočívá ve vyplnění prvků CM vzestupnými mocninami jedné proměnné, například a. Jedná se o jednu z posledních zajímavostí, ke které jsem zatím došel, proto jsem ji nestihl vložit do práce. Při výpočtu determinantů v tomto tvaru: det(Circ(a^0, a^1, a^2,… , a^n)) jsem docházel k následujícím výsledkům pro jednotlivá n přirozená: n = 1: 1 – a^2; n = 2: 1 – 2a^3 + a^6 = (1 – a^2)^2; n = 3: 1 – 4 + 6 a^2a – 4 a^3 + a^4 = (1 – a^2)^3;… Zřejmě bude platit, že jednotlivé výrazy odpovídají binomické větě pro dvojčlen (1 – a^2)^n. Nad důkazem jsem zatím nepřemýšlel.