Odpověď na téma: 42. CP SOČ online – obor 01 matematika a statistika

[Kateřina Panešová]

Vážená komise, děkuji za otázky a přikládám své odpovědi. Přeji Vám hezký den.

1) Ve své práci jsem počítala Hasdorffovu dimenzi Kochovy hvězdy a Sierpińského trojúhelníka na základě definice Hausdorffovy míry, tedy snažila jsem se vyjádřit Hausdorffovu míru útvaru pomocí „obsahů“ pokrývacích kruhů. Přitom zmenším-li poloměr těchto kruhů x-krát, potřebuji jich y-krát více, aby ovšem nastalo to, co laicky nazývám „zlomový bod“, musí platit x^s=y, kde s je dimenze útvaru (to platí pro Kochovu hvězdu a Sierpińského trojúhelník díky jejich pravidelnosti a dokonalé soběpodobnosti). Lze si to představit i tak, že zvětšíme-li daný útvar x-krát, zvětší se jeho míra y-krát (místo použití y x-krát menších kruhů na stejný fraktál použiju y stejných kruhů na x-krát zvětšený fraktál, takže poměry zůstanou stejné). Odtud ten zvětšovací koeficient. Dimenzi „s“ Kochovy hvězdy nebo Sierpińského trojúhelníku lze tedy vypočítat ze vztahu x^s=y, kde x je koeficient zvětšení a y koeficient zmnožení (kolikrát více pokrývacích kruhů potřebuji). Se zmenšením je to analogické.
2) V dané větě to myslím tak, že pro stanovení Hausdorffovy dimenze útvaru nehledám nutně s, pro které bude Hausdorffova míra útvaru konečná a nenulová (jako je tomu např. u Sierpińského trojúhelníku), protože Hausdorffovu míru mohu počítat např. i u roviny, jejíž 2rozměrná Hausdorffova míra je nekonečná, ale její s-dimenzionální míra, kde s > 2, už je rovna nule. Dimenze roviny je potom 2, protože 2 je nejnižší horní mez (a dokonce maximum) všech možných hodnot s, pro které je s-dimenzionální Hausdorffova míra nekonečná. Naopak, 2 je zároveň infimum všech možných hodnot s, pro které je s-dimenzionální míra rovna nule, množina těchto hodnot však nemá minimum. Myslím to tedy tak, že zlomový bod může nastat i pro s takové, že Hs dané množiny bude nekonečná. Aspoň se domnívám, že to tak je, ale z Vaší otázky mám pocit, že to není správně, nenapadlo mě ovšem proč, a proto bych Vás chtěla požádat o vysvětlení po skončení soutěže, pokud budete moct.
3) V práci uvádím, že obvyklou vlastností fraktálů je to, že jejich Hausdorffova dimenze je větší než topologická, ovšem tato podmínka by byla příliš omezující a vyloučila by některé útvary, které fraktály jsou (např. křivky vyplňující plochu – Hilbertova křivka). Myslím si, že i v prezentaci uvádím, že neceločíselná dimenze je pouze typickou vlastnosti fraktálů, ale nemusí nutně platit pro všechny. Topologická dimenze je vždy celé číslo, vztah mezi zmíněnými vlastnostmi je proto ten, že pokud je Hausdorffova dimenze větší než topologická, je většinou i neceločíselná – opět to ale neplatí pro všechny fraktály (vizte Hilbertovu křivku).
4) S tématem mě seznámila moje vedoucí práce, Mgr. Pavla Hofmanová. Zaujalo mě to, protože jsem do té doby znala fraktály pouze jako pěkné útvary, které se často vyskytují v přírodě, protože je to výhodné (ekonomicky). Když jsem zjistila, že existuje i matematická teorie fraktálů, začala jsem se o to zajímat a narazila jsem na to, že pro zájemce o matematiku na mé (středoškolské) úrovni je to téma dost nedostupné. Proto jsem to chtěla zpracovat tak, aby tomu středoškoláci mohli porozumět.