Odpověď na téma: 42. CP SOČ online – obor 01 matematika a statistika

[Martin Dolák]

Dobrý den,

Přikládám odpovědi na otázky:

1) Konvoluce je operace s mezi dvěma funkcemi, kdy vyjadřujeme, jak se tvar jedné funkce změní za pomocí druhé. Konvoluční matici tedy získáme pomocí zpracovaní jedné matice druhou maticí (jádrem). Správný vzorec pro laplacián uvádím tady:
\delta u(x,y) = \frac{u(x-dx,y)+u(x+dx,y)+u(x,y-dy)+u(x,y+dy)-4u(x,y)}{dxdy}. Diskretizaci laplacianu dostaneme pomocí metody konečných diferencí (sítí) (v práci tento postup neuvádím).

2) Veškeré obrázky kromě těch, kde je uveden zdroj (tedy kromě postupné vlny) jsou mé vlastní. Vlastní přínos vnímám jako jedinou českou práci na téma Gray-Scott. Vzhledem k problematice jsem ale chtěl v práci uvést také základní PDR a pokusit se o jejich analytický a také numerický výpočet bez toho, aniž bych dlouze vysvětloval původ, existenci a jednoznačnost řešení těchto rovnic. Chtěl jsem do práce vnést základy PDR a ukázat možnosti řešení. Nicméně jako nejdůležitější považuji kapitolu Gray-Scotta. Při numerice máme několik možností. Já jsem využíval metodu sítí a je to jediná numerická metoda, kterou znám. Funguje na tom principu, že si oblast „nařežeme“ a vzniknou nám uzly. S těmi dále pracujeme (vzniknou oné matice,…). Další možností je metoda konečných prvků, kterou bych zřejmě považoval za „nejsložitější“ z nich.

3) Stejnoměrná kovergence má následující definici: Pro všechna epsilon větší než nula existuje n_0 z N takové, že pro všechna x a pro všechna n z N, kde n > n_0, platí: |f_n(x)-f(x)| < \epsilon. U řad je to v podstatě stejné. Předpokládáme totiž, že posloupnost s_n(x) stejnoměrně konverguje k s(x) (součet = s). V důkazu věty chybí slovo stejnoměrně konverguje na R, omlouvám se za tuto chybu.

4) Nejdříve jsem se zamyslel, jaké okrajové podmínky by bylo vhodné využít. Periodické mi přišly nejrozumnější a také nejjednodušší. Následně jsem vše diskretizoval a použil matlab na řešení mé problematiky (kod jsem posílal, pokud jej nemáte, pošlu jej znovu). Bylo jasné, že řešení analytické nenajdu, tedy jsem jinou možnost neměl. Vzhledem k jednoduchosti postupu, který jsem využil, jsem dostal pouze bezrozměrnou koncentraci volně rozprostřenou v prostoru, tedy ten nejjednodušší případ.

5) Čitatel i jmenovatel je 0, tedy jsem použil LHopitalovo pravidlo k vyřešeni této limity. Je to limita posloupnosti a jiná možnost, než využití limity, mě nenapadá. Za tuto odpověď se omlouvám, nevím, jak jinak než limitou, se dostat k onomu výsledku 1/8.

Děkuji porotě za otázky a přeji pěkný zbytek dne,

Dolák