Odpověď na téma: 42. CP SOČ online – obor 01 matematika a statistika

[Daniel Perout]

Dobrý den,

děkuji za náročné doplňující dotazy. O jejich zodpovězení se pokusím níže:

1. Trojúhelník s jednou konstantní složkou je spíše návodnou pomůckou, pravidlem. Věty 8.1 — 8.5 zachycují určité vztahy mezi operacemi se dvěma trojúhelníky (např. V.8.1.: sčítání exponentů v trojúhelníku je stejné jako násobení dvou trojúhelníku se těmito sčítanci v exponentu). Tato pravidla platí symetricky — např. V.8.1 a V.8.2. Tedy návodný zápis do jednoho trojúhelníku je důsledkem konjukce těchto dvou předem dokázaných vět. (Viz V.8.1 ∧ V.8.2 ⇒ V.8.3).
2. Bohužel zde nemůžeme mluvit o symetriích z grupy S_3, protože exponent se od báze či radikandu velmi „odlišuje“. Jediné, co by mohlo symetrie této grupy připomínat, je snad zrcadlící věta V.6.1 (a provázání báze a radikandu obecně).
Musíme zde uvažovat symetrii v poněkud jiném, obecnějším, nematematičtějším smyslu. Tato symetrie se např. projevuje při identitách (pro všechny tři vrcholy máme v určitém smyslu podobné věty), ve větách s konstantním vrcholem (z jednoho vyjádření máme dvě symetrické věty). Cílem „symetrie“ je napomoci uživateli současné notace k nahlédnutí na některé vztahy mezi operacemi (např. odmocňování k logaritmování), které se ve standardní notaci a výuce nevyučují, přestože jsou do značné míry intuitivní.
3. V této části práce jsme se snažili definovat trojúhelník postupným rozšiřováním oboru exponentu. Jak jsem naznačil i v řešení, se současnou definicí trojúhelníku (tedy s přirozeným exponentem) úloha nemá řešení, ale v dalších oborech pro exponent (racionální, reálný) už úloha řešení získá. Omlouvám se, pokud tomuto nebylo v řešení příkladu dostatečně rozumět.
4. Ukázku derivace přikládám zde: https://u.pcloud.link/publink/show?code=XZ5WzOkZTmqnUOuGT4LU3vtuKx1NfLW1XmYy. Práce se však matematickou analýzou nezabývá, není tedy vybudována dostatečná rigorózní teorie k tomu, abychom mohli funkce derivovat. Proto ani nepřipisuji podmínky atd. Na Taylorově rozvoji můžeme znovu ukázat symetričnost, tedy pokud máme dobře definovanou funkci umocňování (tedy proměnlivé báze a daného exponentu), můžeme definovat i obrácenou operaci (tedy danou bázi – e a proměnlivý exponent).
5. Práce se nezabývá nekladnými exponenty spíše z kosmetických důvodů. Teoreticky záporné exponenty ničemu nevadí, museli bychom si ale uhlídat to, aby exponent nebyl nulový (dochází k porušení jednoznačnosti, protože radikand by byl roven číslu 1). Toto z důvodu zachování jednoduchosti pro cílového, středoškolského, čtenáře vynechávám.

S pozdravem a přáním pěkného dne,
Daniel Perout.