Odpověď na téma: 42. CP SOČ online – obor 01 matematika a statistika

[Matouš Cimala]

Dobrý den, děkuji za otázky.
1) Zavedená vzdálenost v Beltrami-Kleinově modelu (využívající tzv. dvojpoměr čtyř bodů) připouští i záporné hodnoty, navíc záleží na pořadí nevlastních/ideálních bodů p, q. Opravte.
Dále zde musí platit |pa|<|qa| a |qb|>|pb|. Navíc mám ve vzorci překlep: má být ln(|aq|.|pb|/|ap|.|qb|)/2 místo ln(|aq|.|pb|/|ap|.|pb|)/2.
2) Čím si vysvětlujete chyby v Poincarého kruhovém modelu při vykreslování přímek a při výpočtu úhlů?
Při Poincarého vykreslování přímek blízkých ose x se nezobrazují jejich konce. Toto je způsobeno způsobem kreslení, kdy pro každou y-ovou (eukleidovskou) souřadnici naleznu odpovídající x-ové a získané body spojím čarou. U kružnicových oblouků velmi podobných ose x je ale pro několik různých bodů y-ová souřadnice prakticky stejná (souřadnice musím udávat v jednotkách – pixelech) a vypočte se tedy jen jeden z nich. Tato vada lze odstrenit použitím kreslící funkce arc(), která na základě zadaných hodnot vykreslí kružnicový oblouk. Této funkci jsem se chtěl původně vyhnout, protože při neopatrné implementaci by mohla vykreslovat l-přímky vně modelu.
Při výpočtech úhlů používám limitní tvar kosinové věty pro hyperbolickou geometrii pro strany trojúhelníka blížící se nekonečnu. Tato úprava je mým výtvorem, chápu tedy, že nefunguje, ale nerozumím proč. Při opakovaných výpočtech jsem došel ke stejnému výsledku. Tuto chybu lze odstranit buďto prozatimním vytvořením konečného trojúhelníka, kde bych úhel spočítal kosinovou větou, nebo spočítáním úhlu jako úhlu tečen kružnicových oblouků. Oběma těmto způsobům jsem se chtěl vyhnout, protože v současném stavu je kód aplikace značně chaotický.
3) V práci se uvádí, že hyperbolické funkce mají k hyperbole stejný vztah jako goniometrické funkce ke kružnici. Vysvětlete.
Pro sinh(t) a cosh(t) platí vztah cosh^2(t) – sinh^2(t) = 1, všechny body [cosh(t), sinh(t)] tedy leží na jednotkové hyperbole. Dále platí, že útvar omezený osou x, přímkou y = x * sinh(t) / cosh(t) a jednotkovou hyperbolou má velikost t/2, jako to platí pro y = x * sin(t) / cos(t) a jednotkovou kružnici.
4) V prezentaci jste při vysvětlování jednotlivých modelů použil obrázky, v práci nikoliv. Byl k tomu nějaký důvod?
K nepoužití obrázků v práci jsem žádný důvod neměl, do prezentace jsem je pak zařadil, protože ta by měla být poutavější.
5) Setkal jste se při zpracování modelů s (Lobačevského) pojmem „úhel souběžnosti“? Lze jej ve Vašich modelech určit?
Úhel souběžnosti lze určit jako polovinu úhlu mezi přímkami spojující daný bod a nevlastní body dané přímky, případně jeho rozdíl od 180°.