Odpověď na téma: 42. CP SOČ online – obor 01 matematika a statistika

[Zdeněk Pezlar]

Dobrý den!

1) Rovnice řešení nemá. Pokud existují celá x,y, která by splňovala danou rovnici, pak speciálně 223 dělí x^2+y^2. Nicméně 223 je prvočíslo dávající zbytek -1 modulo 4, tedy dle lemmatu 1.0.8 by muselo 223 dělit jak x,y, tedy 223^2 dělí x^2+y^2, což je spor s tím, že 223-valuace n je pouze 1. Použili jsme tedy fakt, že -1 je kvadratický nezbytek modulo prvočísla p = -1 mod 4.

2) Samozřejmě a \in (b) by mělo implikovat, že b dělí a, ne naopak.

3) Jak bylo zmíněno ve 3. kapitole, fundamentální řešení Pellovy rovnice se dají najít zkoumáním konvergentů řetězových zlomků pro sqrt(n). Stačí tedy dokázat spočíst řetězové zlomky pro sqrt(n), což je výpočtně poměrně snadné.

4) V mé práci jsem omezil teoretickou složku, tedy některé důležité důkazy a tvrzení byly vynechány. Proto si práci může přečíst čtenář, který není seznámen s mnohem obtížnější teorií, která je s řešením spojena. Kromě většího počtu rovnic jsem se postupně pokoušel zvyšovat náročnost výpočtů, z jednoduché první rovnice jsem zkoumal okruhy postupně Z[(1+sqrt(n))/2], obecné řešení podobných rovnic a konečně netriviální společné dělitele a reálná tělesa. Čtenář tak metodám díky zvyšující se obtížnosti lépe porozumí.

5) Tato rovnice se dá upravit na tvar x^2+y^2 = z^3 + t^3, vyjadřuje tedy speciální případ této rovnice, náš případ je však řešitelný elementárními metodami.