Hlavní stránka Fóra Forum pro soutěžící SOČ 42. celostátní přehlídka ONLINE 42. CP SOČ online – obor 01 matematika a statistika Odpověď na téma: 42. CP SOČ online – obor 01 matematika a statistika

#24339
Max Forman
Host

Dobrý den,

1) Abych řekl pravdu, tak touto otázkou jsem se příliš nezabýval. Zabýval jsem se otázkou, jestli sestup dojde vždy na nulový bod, pokud jsou členy přirozená čísla. Mé výpočty naznačují, že pokud od sebe odečítáme 3, 5, 6, 7, 8, 9 členů, pak dochází k zacyklení. Čtveřice jsou unikátní v tom, že zde k zacyklení nedochází a proto jsem se tomuto tématu tak věnoval.

2) Je to zajímavá otázka, kterou jsem se vůbec nezabýval. Domnívám se, že je možné, že obecně platí nekonečný sestup daný m-bonaccim. Tato otázka mi připadá velmi zajímavá a děkuji Vám za inspiraci pro budoucí průzkum

3) Z rovnice ± n1 ± n2 ± n3 ± n4 = 0 jsem vybral možnost +++-. Kromě této možnosti lze také vytvořit nekonečně vysoký sestup pomocí jakékoli permutace +++-, např. +-++. Členy čtveřice ale musí být neustále seřazeny podle velikosti. Nekonečně vysoký sestup lze také vytvořit pomocí možnosti —+ a všech permutací této možnosti. Domnívám se, že pro možnosti ++– a +-+- sice platí, že čtveřice v tomto tvaru má svůj upendix, ale nelze dopočítat jeho přesné hodnoty.

4) Nejsem si jistý, co nyní přesně myslíte danou čtveřicí. Zabýval jsem se důkazem, že pokud jsou členy přirozená čísla, pak dojde sestup vždy na nulový bod. Princip tohoto důkazu je, že sestup čtveřice přirozených čísel dojde vždy na nulový bod, jelikož největší člen lowernixu předchozí čtveřice je menší nebo roven největšímu členu předchozí čtveřice a je tedy otázkou času, než sestup dojde na nulový bod.

5) Můj učitel matematiky mě upozornil na to, že při náhodném výběru čísel vychází překvapivě nízké sestupy. Mě toto velmi zaujalo a začal jsem se tímto tématem zabývat více do hloubky. Nepovedlo se mi najít žádné zdroje, které by popisovaly stejný matematický problém.

Tématem jsem se zabýval i po odevzdání práce a povedlo zjisti zajímavé informace.
Ve své práci jsem uvedl, že základní tvar je čtveřice [0; n2; n3; 1], kde n2 a n3 jsou z intervalu (0;1) a na tento tvar lze převést pouze čtveřice, které jsou v původním tvaru n1<n2<n3<n4. Ve skutečnosti lze ale převést jakoukoli čtveřici na tvar [0; n2; n3; 1], kde n2 a n3 jsou z intervalu <0;∞). Nejprve se pomocí cyklické permutace převede nejmenší číslo na první pozici, následně se od všech členů odečte dané číslo na první pozici a následně se všechny členy vydělí členem na poslední pozici.
Každou čtveřici jde převést na základní tvar i bez cyklické permutace, ale pak by vznikaly záporné členy a já jsem sestup uspořádaných čtveřic v definici omezil pouze na kladná reálná čísla. Nyní tedy sestup uspořádaných čtveřic rozšíříme na všechna reálná čísla a budeme všechny čtveřice převádět na základní tvar bez cyklické permutace, tedy na tvar [0;n2;n3;1], kde n2 a n3 jsou z intervalu (-∞; ∞).
Do programu, který vytvořil grafy uvedené v dodatku mé práce jsem dosadil podobné hodnoty. Program dosazoval x a y do čtveřice [0; x; y; 1], kde x a y byly z intervalu (-50;50). Vytvořil se tak graf uvedený v – https://email.seznam.cz/imageresize/?width=1280&height=894&mid=7379&aid=1&uid=50613546&default=%2Fstatic%2Fwm%2Fimg%2Fdefault-image.svg
Můžeme si na něm všimnout, že se tam vytvoří jiné vrcholy, než které známe. Udělal jsem proto nový graf, kde program dosazoval x a y do čtveřice [0; x; y; 1], kde x a y byly z intervalu (-6;7). Tento graf je uvedený zde – https://email.seznam.cz/imageresize/?width=1280&height=894&mid=7377&aid=1&uid=50613546&default=%2Fstatic%2Fwm%2Fimg%2Fdefault-image.svg
a obsahuje všechny vrcholy původního grafu. Na druhém grafu se vytvoří celkem osm vrcholů, dva z nich už známe z dodatku mé práce. Další vrcholy vycházejí z těchto čtveřic, ale po cyklické permutaci. Nekonečně vysoké sestupy vytvoří čtveřice [1;ψ3; ψ2; ψ] a [ψ3; 1; ψ; ψ2], kde jsou členy v základním tvaru kladná reálná čísla. Další možnosti nekonečně vysokého sestupu jsou čtveřice, jejíž alespoň jeden člen v základním tvaru je záporné číslo. Neboli
[1;Ψ;Ψ^2;Ψ^3]=[0; 1/(Ψ^2+Ψ+1); (Ψ+1)/(Ψ^2+Ψ+1);1], což se přibližně rovná [0;0,1607;0,4563;1]
[Ψ^3;Ψ^2;Ψ;1]=[0; Ψ/(Ψ^2+Ψ+1); (Ψ+Ψ^2)/(Ψ^2+Ψ+1 ], což se přibližně rovná [0; 0,5437; 0,8393; 1]

[Ψ^3;1;Ψ;Ψ^2]=[0; (1-Ψ^3)/(Ψ^2-Ψ^3); (Ψ-Ψ^3)/(Ψ^2-Ψ^3); 1], což se přibližně rovná [0;1,8393;1,5437;1]
[Ψ^2; Ψ^3; 1; Ψ] = [0; (Ψ^3-Ψ^2)/(Ψ-Ψ^2); (1-Ψ^2)/(Ψ-Ψ^2); 1], což se přibližně rovná [0; -1,8393; 1,5437; 1]
[Ψ; Ψ^2; Ψ^3; 1] = [0; (Ψ^2-Ψ)/(1-Ψ); (Ψ^3-Ψ)/(1-Ψ); 1], což se přibližně rovná [0; -1,8393; 5,2223; 1]

[Ψ^2; Ψ; 1; Ψ^3]=[0; (Ψ-Ψ^2)/(Ψ^3-Ψ^2); (1-Ψ^2)/(Ψ^3-Ψ^2); 1], což se přibližně rovná [0; -0,5437; -0,8393; 1]
[Ψ; 1; Ψ^3; Ψ^2]=[0; (1-Ψ)/(Ψ^2-Ψ); (Ψ^3-Ψ)/(Ψ^2-Ψ); 1], což se přibližně rovná [0; -0,5437; 2,8393; 1]
[1; Ψ^3; Ψ^2; Ψ]=[0; (Ψ^3-1)/(Ψ-1); (Ψ^2-1)/(Ψ-1); 1], což se přibližně rovná [0;6,2223;2,8393;1]

Děkuji za zajímavé otázky.

S pozdravem
Max Forman