Další rada: Matematické problémy pro teenagery - inteligentní zábava, tvůrčí práce, výzkum

Miroslav Kureš,
Článek je rozšířenou formou autorova příspěvku na Semináři pro učitele středních škol o aktivních formách podpory rozvoje nadání s důrazem na rozvoj samostatných tvůrčích aktivit konaném v Praze ve dnech 23.-24.11.2001

Matematických problémech

Co je vlastně matematický problém? Parafrázujeme-li Josefa Piepera [7], nabízejí se tři možné definice: matematický problém je:

(1) jakákoliv smysluplná otázka, spadající do matematiky
(2) otázka, jejíž zodpovězení navíc vyžaduje i při dobré znalosti odpovídající teorie jisté úsilí, námahu a přináší nějaké svízele
(3) otázka, jejíž zodpovězení bude mimoto pro společnost prakticky užitečné.

Přijmeme-li první definici, budeme nazývat problémem i naprostou banalitu; přijmeme-li definici třetí, nebude pro nás problémem ani slavný (dnes už vyřešený) problém Fermatův. Zdá se tedy rozumné přijmout definici (2). Nevyřešené matematické problémy jsou určeny především pro profesionální matematiky, zatímco amatéři, tedy laická veřejnost, jsou zcela oprávněni věnovat se i problémům vyřešeným, neboť je to může (zvláště ve srovnání s jinými možnými aktivitami) významně vnitřně obohacovat. Poznamenejme ovšem, že míra zájmu o rekreační matematiku je funkcí jak času, tak geografické polohy; zdá se, že v České republice je na počátku třetího tisíciletí dosti nízká. Jistá část teenagerů, současné "clip generation", by však mohla být matematickými problémy zaujata i nadchnuta, protože například problém vlámání se do počítačové sítě řeší (pro sám problém!) někdy docela ráda. Nutnou podmínkou pro to ovšem je, aby talentovaným jedincům této generace matematické problémy někdo předkládal, aby šlo opravdu o problémy, ne o nemotivované studium teorie. Problémy musí být srozumitelné a jejich řešení nemůže vyžadovat rozsáhlý náročný aparát. Poněvadž nemusí jít, jak bylo uvedeno výše, bezpodmínečně o problematiku dosud neřešenou, je nasnadě, že matematické problémy pro teenagery existují, je jich stále dost, ba dokonce čím dál víc. Středoškolská odborná činnost je jednou z nejvhodnějších platforem (viz anotaci oboru 01 v[9]) pro "zoficiálnění" jejich řešení, pro konfrontaci, setkání a soutěž řešitelů. Pro srovnání, v matematické olympiádě se neřeší problémy, ale příklady, pro jejichž řešení je (obvykle) potřebný řádově zásadně nižší čas.

Řešení matematických problémů může být inteligentní zábavou, tvůrčí prací i výzkumem. Tento článek se pokouší být jistou inspirací při hledání témat SOČ. Přestože pokaždé začneme odjinud, pokusíme se i vše navzájem provázat; dojem, že témata jsou tak trochu z jednoho soudku, je tedy v čtenáři vyvoláván úmyslně.

Inteligentní zábava

Následující problém je uveden např. v sympatické Littlewoodově knížce [5], kterou čtenáři vřele doporučujeme. Je dán čtverec. Tento čtverec je třeba beze zbytku rozdělit na konečný počet čtverců, které jsou všechny navzájem různě velké. Úloha je těžká, ovšem řešitelná (dokonce nekonečně mnoha způsoby). Řešení lze nalézt v [4]. Je ale zajímavé, že krychli rozdělit na konečný počet různě velkých krychlí nelze, což nyní dokážeme. Předpokládejme, že rozdělení krychle existuje. Na spodní stěně původní krychle musí stát některé z krychlí, které realizují toto rozdělení. Nejmenší z nich nemůže přiléhat k jiné stěně původní krychle než právě jen k té spodní. (Jinak bychom museli velmi rychle popřít, že je nejmenší.) Tato nejmenší krychle je pak obklopena ze stran stěnami okolních, vyšších krychlí. Z toho plyne, že na její vrchní stěnu je třeba postavit opět krychle analogicky tomu, jak jsme to udělali pro spodní stěnu původní krychle. Z tohoto "druhého patra" zase vybereme nejmenší krychli, atd. Proces nemůže po konečném počtu kroků skončit u vrchní stěny původní krychle, tzn. rozdělení krychle neexistuje.

Je možné se zamýšlet nad dalšími variantami dělení rovinných a prostorových útvarů. Mnohé otázky, které nás mohou napadat, ovšem zodpovíme okamžitě (např. rozdělení obdélníka na konečný počet různě velkých obdélníků), neboť problémy nepředstavují.

S dělením roviny pak souvisí dlažby. Vyhneme se jejich přesné definici; řekněme jen, že chceme vydláždit rovinu dlaždicemi určitého typu - rychle zjistíme, že takovými dlaždicemi mohou být čtverce, obdélníky, kosočtverce, pravidelné trojúhelníky, šestiúhelníky - ve všech těchto případech stačí dlaždice jediného typu k pokrytí roviny beze zbytku. K pokrytí roviny ovšem nevystačíme např. s pravidelnými pětiúhelníky, k nim musíme přibrat ještě další "doplňkovou" dlaždici, kosočtverec. Nabízí se otázka, kdy a kolik doplňkových dlaždic potřebujeme, je-li základní dlaždicí např. pravidelný n-úhelník. Experimentů s dlažbami se nabízí přemýšlivému čtenáři celá řada. Zamysleme se například nad symetriemi dlažeb. Dlažba ze šestiúhelníků (včelí plást) má šestičetnou rotační symetrii, čili středem libovolného šestiúhelníka lze vést šest os souměrnosti. Má také translační symetrii, tzn. posunutím lze dosáhnout překrytí čar původní a posunuté struktury. Dlažba z pětiúhelníků s doplňkovými kosočtverci má pětičetnou rotační symetrii, avšak nemá symetrii translační, tedy žádným posunutím nelze dosáhnout překrytí čar původní a posunuté struktury, viz [3]. Dlažby bez translační symetrie se nazývají neperiodické a průkopnické práce o nich publikoval R. Penrose. Od tohoto matematika je k dispozici na domácím trhu kniha [6], zmiňující též zajímavé dlažby tvořené tzv. polyominy.

Poznamenejme ještě, že zajímavé dlažby vytvářel též jeden pozoruhodný umělec: M.C. Escher. Prohlížíme si pozorně jeho obrazy, nacházíme v nich překvapivé množství matematiky.

Tvůrčí práce

Jednou z velmi prospěšných funkcí počítačů je zobrazování třírozměrných objektů. V matematice je užitečné zobrazování ploch - jak známo, mnoho programů umožňuje plochy natáčet, zvětšovat, stínovat, atd., takže kvalita informace se blíží třírozměrnému modelu. Po rovinách, tzn. lineárních plochách, jsou nejběžnějšími a v jistém smyslu tedy nejjednoduššími plochami kvadratické plochy (kvadriky), které lze zadat implicitní rovnicí
ax²+by²+cz²+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0
(ve které je alespoň jeden z koeficientů a,b,c,d,e,f nenulový). Programy kvalitně zobrazující kvadratické plochy vycházejí tu a tam i z dílen řešitelů SOČ. Bylo by velmi užitečné, kdyby tyto programy uměly mj. i rozpoznat typ kvadriky na základě zadané rovnice výše uvedeného typu. Je známo, že tuto rovnici lze transformací soustavy souřadnic převést na jeden ze sedmnácti možných typů, které korespondují s jednotlivými typy kvadrik (mezi nimi jsou jak regulární kvadriky, např. x²+2y²+3z²-4=0 je rovnice elipsoidu, tak singulární kvadriky, např. x²-2z²=0 je rovnice dvojice různoběžných rovin). Dále by bylo užitečné, kdyby bylo možno demonstrovat některé důležité křivky ležící na kvadrikách, např. libovolným bodem jak jednodílného hyperboloidu, tak hyperbolického paraboloidu procházejí dvě různoběžné přímky, které celé leží na těchto kvadrikách.

To je ovšem jen rozcvička. Součástí klasické algebraické geometrie, viz např. [2], je i studium křivek a ploch řádu vyššího. Tato část geometrie, třebaže v některých ohledech již teoreticky uzavřená, by neměla stát stranou zájmu. Naopak, je načase se právě teď s možnostmi dnešních počítačů k těmto křivkám a plochám vrátit. Program klasifikující alespoň částečně kubické plochy, tzn. plochy s implicitní rovnicí
ax³+by³+cz³+dx²y+exy²+fx²z+gxz²+hy²z+iyz²+
+jxyz+kx²+ly²+mz²+nxy+oxz+pyz+qx+ry+sz+t=0
by byl skutečně originální, rozsáhlou a náročnou tvůrčí prací - snad ani dosud takový program neexistuje. Na kubických plochách nalézáme jak přímky, tak i kuželosečky, jak je uvedeno opět např. v [2]. Bylo by dobré je i zde zobrazovat.

Mezi křivkami ležícími na dané ploše jsou i tzv. geodetiky, tedy křivky realizující nejkratší spojnici mezi dvěma body plochy. Jejich hledání už je ovšem obtížné a vyžaduje znalost variačního počtu. Při znalosti alespoň některých křivek ležících na ploše se však lze pokoušet o vydláždění plochy tak, jak to bylo zmíněno výše a dostaneme se tak k poměrně náročným úlohám počítačové grafiky.

Výzkum

V roce 1984 byl oznámeno, že jisté slitiny hliníku s manganem mají "krystaly" tvaru dvacetistěnu. Pokud ovšem existují takové dvacetistěny, existuje reálně i pětičetná rotační symetrie, z čehož plyne neperiodičnost uspořádání: krystaly mají mít ovšem podle klasické teorie periodickou strukturu! (Tak jsou definovány!) Něco podobného se ve vědě přihodilo už mnohokrát (jinak by to ani nešlo) - dosavadní model selhal. Situace se vyřešila tak, že tyto "krystaly" se začaly nazývat kvazikrystaly a brzy se našla i odpovídající matematická teorie, které je modeluje. Pojednává o ní velmi pěkná Senechalova knížka [8]. "Mladé" teorie mají na rozdíl od klasických tu přednost, že po jistou dobu můžeme i bez příliš vysoké vstupní bariéry získávat zcela původní výsledky.

V roce 2001 se soutěže SOČ zúčastnila práce [1], ve které je vyšetřována číselná soustava o základu 1+Ö3 jako příklad soustavy o iracionálním základu. Takové soustavy mají mnoho zajímavých vlastností. Celá čísla v soustavě o základu ß , kde ß je iracionální nemají totiž od sebe konstantní vzdálenost 1, jak jsme zvyklí z desítkové (či dvojkové nebo šestnáctkové) soustavy, ale jsou mezi nimi mezery dvou typů. Pozoruhodné je, že střídání těchto mezer je zcela neperiodické, tzn. nikde na číselné ose nenajdeme bod, od něhož se rozložení mezer začíná opakovat. Jak možná čtenář už tuší, slouží tyto exotické číselné soustavy k popisu kvazikrystalických látek.

Tento příklad demonstruje, že teenageři mohou participovat na objevání neznámého i v matematice, oboru z nejklasičtějších. Musí ovšem "mít problém" a dát jim ho je často rovněž problém - snad bylo alespoň naznačeno, jak na to.

Mgr. Miroslav Kureš, Dr. (1965) se na Ústavu matematiky Fakulty strojního inženýrství Vysokého učení technického v Brně zabývá především diferenciální geometrií a variačním počtem. Od roku 1994 pracuje v odborné hodnotící porotě pro celostátní přehlídku Středoškolské odborné činnosti.

Použitá literatura:
[1] Beneš, P., Janda, P., Mironiuk, L., Šimek, M., Číselné soustavy o iracionálním základu, soutěžní práce SOČ (2001)
[2] Bydžovský, B., Úvod do algebraické geometrie, JČMF 1948
[3] Dvořák, V., Nestandardní uspořádání atomů, Vesmír, 75 (1996), 566
[4] Brooks, R.L., Smith, C.A.B., Stone, A.H., Tutte, W.T., The Dissection of Rectangles into Squares, Duke Math. J., 7 (1940), 312
[5] Littlewood, J.E., A Mathematician's Miscellany, London 1957
[6] Penrose, R., Makrosvět, mikrosvět a lidská mysl, Mladá fronta 1999
[7] Pieper, J., Volný čas / vzdělání / moudrost, Křesťanská akademie 1992
[8] Senechal, M., Quasicrystals and geometry, Cambridge University Press 1996
[9] SOČ 2001-2002, informační brožura IDM MŠMT